В содержании начального курса математики можно выделить следующие основные разделы (содержательные линии):
- нумерация целых неотрицательных чисел;
- арифметические действия и их свойства;
- величины и их измерение;
- алгебраическая пропедевтика;
- геометрическая пропедевтика;
- текстовые задачи.
Практика показывает, что тема «Величины, их измерение. Измерение геометрических величин» является одним из трудных в изучении разделов начального курса математики [1].
Остановимся подробнее на содержании указанного раздела, попытаемся выявить трудности и ошибки, возникающие у учащихся при его изучении и причины их возникновения.
Содержание раздела «Величины и их измерение. Измерение геометрических величин» включает следующие вопросы:
- понятие о величине;
- измерение величин, единицы измерения величин, соотношения между ними;
- преобразования величин;
- действия с однородными величинами, выраженными в единицах одного или нескольких наименований (сравнение, сложение, вычитание, умножение на число, деление на число).
В начальном курсе математики учащиеся знакомятся с длиной, массой, площадью, объемом, временем. Особое внимание в начальной школе уделено периметру и площади прямоугольника (квадрата), величинам, связанным между собой пропорциональной зависимостью. В государственном стандарте начального общего образования выделены группы величин, характеризующих процессы: «движения» (скорость, время, пройденный путь); «купли продажи» (цена – количество товара стоимость); «работы» (производительность труда, время работы, объем всей работы).
При изучении данного раздела типовыми являются задания: «Измерьте длину отрезка», «Выполните действия» (с величинами), «Найдите периметр (площадь) прямоугольника (квадрата) с заданными сторонами» и др.
Анализ результатов выполнения типовых заданий показывает, что чаще всего учащиеся допускают ошибки в преобразованиях величин, в действиях с величинами, выраженными в различных единицах, в ходе решения задач на нахождение периметра (площади) прямоугольника (квадрата), при записи единиц периметра (площади) прямоугольника (квадрата), в ходе решения составных задач с пропорциональными величинами. Причинами возникновения указанных ошибок являются:
- несформированность понятия о величине, в частности, о периметре и площади фигуры;
- незнание единиц измерения величин и соотношения между ними;
- незнание алгоритмов преобразования величин, действий с величинами, выраженными в одинаковых или разных единицах;
- несформированность общего умения решать текстовые задачи.
Рассмотрим методические рекомендации, позволяющие учителю повысить результативность изучения основных вопросов данного раздела.
Понятие о величине
Формируя понятие о той или иной величине, учителю, прежде всего, необходимо:
- выявить первоначальные представления учащихся о величине;
- уточнить их, конкретизировать, систематизировать.
Среди величин, изучаемых в начальной школе, выделяют геометрические величины: длину, площадь, объем. Изучение геометрических величин, в частности понятия о величине, проводится с опорой на
привычные для детей представления о величине.
Например, длина рассматривается, как свойство объекта обладать протяженностью.
Длина отрезка – это протяженность от одного его конца до другого, длина пути
- протяженность от начального пункта до конечного.
Площадь рассматривается, как свойство объекта занимать определенное место на плоскости.
Объем – как свойство объекта занимать определенное место в пространстве.
В работе по формированию понятия об этих величинах учителю необходимо опираться на указанные представления, раскрывать их содержание через различные учебные задания.
Например: «Определи, какая фигура занимает большее место».
При знакомстве с общепринятыми единицами длины, площади, объема целесообразно использовать наглядность, прием сравнения, учебные задания.
Задание № 1. Выбери мерку для измерения длины отрезка. Обоснуй свой выбор.
Задание № 2. Как измерить длину данного отрезка, используя мерку 1 см? В каких единицах будет выражена длина? (Ответ: Надо посчитать, сколько раз мерка 1 см укладывается в отрезке. В сантиметрах).
В дальнейшем при изучении единиц площади, учащимся предлагают аналогичные задания.
Задание № 3. Выбери мерку для измерения площади прямоугольника. Обоснуй свой ответ.
Задание № 4. Удобно ли мерку 1 см использовать для измерения площади прямоугольника, то есть для определения места, которое занимает прямоугольник? Почему?
Задание № 5. Как измерить площадь
прямоугольника, используя мерку 1 см2? В каких единицах будет выражена площадь прямоугольника?
(Ответ: Надо подсчитать, сколько квадратных сантиметров укладывается в прямоугольнике. В квадратных сантиметрах).
Вывод: длина измеряется линейными единицами: см, дм, м, др.; площадь – квадратными единицами: см2, дм2, м2, др.
Описанные задания не только знакомят учащихся с единицами геометрических величин, но и способствуют правильному формированию понятия о величине.
Понятие «периметр»
Понятие «периметр» является одним из основных понятий математики. Правильное сформулированное понятие «периметр» способствует предупреждению ошибок при записи единиц периметра, площади многоугольника. При знакомстве с этим понятием необходимо обратиться к толкованию термина «периметр» в математическом энциклопедическом словаре.
«Периметр» (слово греческого происхождения (греческое окружность), от греческого – измеряю вокруг) – длина замкнутого контура. Чаще всего этот термин применяется к треугольнику и многоугольнику и в этом случае означает сумму длин всех сторон.
В соответствии с изложенным толкованием, необходимо выяснить:
-
- Какие из изображенных контуров можно измерить вокруг и почему:
(Ответ: 2), 4), 5), потому, что они замкнутые).
Вывод 1. Периметр – длина замкнутого контура.
-
- Какая геометрическая фигура является контуром многоугольника?
(Ответ: Замкнутая ломаная линия).
-
- Чем для многоугольника являются звенья этой ломаной?
(Ответ: Сторонами многоугольника).
Значит, для нахождения периметра многоугольника, необходимо найти сумму длин всех его сторон.
Вывод 2. Периметр многоугольника –
сумма длин всех сторон.
На последующих уроках понятие
«периметр многоугольника» конкретизируется до понятия «периметр прямоугольника».
Проведем логико-дидактический анализ первого урока по теме: «Периметр прямоугольника».
Тип урока: урок изучения нового материала.
Логический анализ
На данном уроке учащиеся впервые знакомятся с понятием «периметр прямоугольника» и способами его нахождения.
Особенности (существенные признаки) данного понятия.
Периметр прямоугольника – это:
- Длина замкнутой ломаной линии
(границы прямоугольника).
- Содержащей 4 звена.
- Которые попарно равны как противоположные стороны прямоугольника.
- Единицы измерения периметра –
это единицы длины: см, дм, м, др.
Этапы изучения понятия на уроке.
- Повторить понятие «периметр многоугольника».
- Познакомить с понятием «пери-
метр прямоугольника».
- Познакомить с различными спосо-
бами нахождения прямоугольника.
Знания, умения и навыки, лежащие в основе изучения понятия «периметр прямоугольника». Понятия: «отрезок», «ломаная», «многоугольник», «прямоугольник».
Свойство сторон прямоугольника. Понятия: «длина», «длина отрезка»,
«длина ломаной». Единицы длины.
Способы измерения длины ломаной. Конкретный смысл действия умно-
жения.
Устные табличные и внетабличные приемы сложения и умножения в пределах 100.
Сложение величин, умножение величин на число.
Дидактический анализ
- Понятие «периметр прямоугольника» полностью определяет сущность предстоящего урока.
Данное понятие конкретизирует понятие «периметр многоугольника», имеет важное практическое применение.
Следовательно, на уроке предстоит познакомить учащихся с данным понятием и способами его нахождения.
- Логика урока требует твердой опоры на перечисленные выше знания и умения. Поэтому на уроке необходимо предусмотреть повторение этих вопросов.
Рассмотрим фрагменты данного уро-
ка.
Методы: беседа, практическая рабо-
та.
Средства: игра «Конструктор», кусок проволоки.
В ходе практической работы следует выяснить ряд вопросов и сделать необходимые выводы относительно периметра прямоугольника.
- Какая фигура служит границей прямоугольника? (Замкнутая ломаная).
- В чем ее особенность (то есть сколько звеньев содержит ломаная, как они
соотносятся между собой)? (4 звена, которые попарно равны, как противоположные стороны прямоугольника).
- Как измерить длину ломаной? (Необходимо на прямой последовательно отложить отрезки, равные по длине звеньям ломаной, измерить длину полученного отрезка. Это и будет длина ломаной).
Возьмем прямоугольник, длина которого 20 см, а ширина 16 см.
(Учитель прикрепляет к доске прямоугольник с заданными сторонами, изготовленный из плотного материала (напри-
мер, картона). К противоположным сторонам прямоугольника прикреплены съемные полоски бумаги одинакового цвета (например, красного и синего)).
Найдем периметр этого прямоугольника. Для этого измерим длину ломаной, которая является границей данного прямоугольника.
(Учитель снимает прикрепленные к сторонам прямоугольника полоски цветной бумаги и последовательно располагает их на одной прямой).
I способ
Красная |
Синяя |
Красная |
Синяя |
- Как найти длину полученного отрезка, то есть ломаной?
(Сложить длины полосок).
На доске записывают равенство: 20+16+20+16=72 (см)
Итак, мы нашли периметр прямоугольника.
Вывод 1.
- Периметр прямоугольника равен сумме длин всех его сторон.
- Чтобы найти периметр прямо-
угольника надо сложить длины всех его четырех сторон.
- Можно ли иначе расположить на прямой красные и синие полоски? Изменится ли при этом длина всей полоски, то есть ломаной?
(Учащиеся меняют расположение полосок и убеждаются, что длина ломаной от этого не изменяется. На доске записывают соответствующие равенства).
- способ
Красная |
Красная |
Синяя |
Синяя |
20+20+16+16=72 (см)
Как иначе записать сумму данных чисел?
20*2+16*2=72 (см)
Итак, мы иначе посчитали периметр прямоугольника.
Сколько раз в периметре содержится длина и ширина прямоугольника? (Два раза).
Вывод 2.
- Периметр прямоугольника – это
две длины и две ширины.
- Чтобы найти периметр прямоугольника, надо удвоить длину, удвоить ширину и полученные результаты сложить.
Это и есть другой способ нахождения периметра прямоугольника.
Вернувшись к первоначальному расположению полосок на прямой, учащиеся практическим путем (перегибанием или наложением) выявляют третий способ нахождения периметра прямоугольника.
- способ
Красная |
Синяя |
Красная |
Синяя |
(20+16)*2=72 (см)
Мы определили третий способ нахождения периметра прямоугольника.
Вывод 3.
- сумма длины и ширины прямоугольника – это половина его периметра, то
есть полупериметр. Значит периметр прямоугольника – это два полупериметра.
- чтобы найти периметр прямоугольника, надо найти его полупериметр и умножить на 2, то есть удвоить.
Мы с вами познакомились с различными способами нахождения периметра прямоугольника, узнали, какими единицами он измеряется.
Действия с однородными величинами
Большинство учащихся испытывают трудности при выполнении действий с однородными величинами, выраженными в единицах различных наименований. Эти трудности могут обусловливаться причинами:
- Недостаточной работой по формированию представлений о той или иной величине.
- Недостатком практических упражнений, целью которых является измерение величин.
- Формальным введением единиц величин и соотношений между ними.
- Однообразием упражнений, связанных с переводом однородных величин одних наименований в другие.
Прежде всего, необходимо, чтобы учащиеся понимали, что складывать, вычитать и сравнивать можно только однородные величины. Для этой цели:
- Подумай! Какие величины можно сравнивать? поставь знаки > или <:
7300 мм...73км;
54км...52кг;
35м...32м2;
20км...207м.
- Подумай! Какие величины можно сложить? Вычисли их сумму:
3078м+285дм;
870м+130дм2;
2м 6дм 4см+6см; 703дм+107кг.
При изучении действий с однородными величинами, выраженными в одинаковых или различных единицах используется алгоритм (сложения, вычитания, сравнения):
- Определи, в одинаковых или разных единицах выражены величины.
- Если величины выражены в одинаковых единицах, то выполни действие с
ними, как с обычными числами.
- Если величины выражены в разных единицах, то:
а) вырази их в одинаковых единицах; б) выполни действие с ними, как с
обычными числами.
- Преобразуй, если необходимо, полученный результат.
Задание №1
Сравни 3дм 4см и 7см.
Решение:
3дм 4см=34см 34см>7см
3дм 4см>7см.
Задание №2
Выполните действие 2т 079кг+756кг.
Решение:
2т 079кг=2079кг 2079+756=2835 (кг)
2835кг=2т 835кг
2т 079кг+756кг=2т 835кг.
Описанный алгоритм применим всегда при выполнении действий с величинами. Но встречаются случаи, когда задание можно выполнить без его применения. Первый способ выполнения задания №1 связан с переводом длины в сантиметры, другой когда эту операцию можно не выполнять.
Например, в задании №1 сравниваются длины, выраженные в различных единицах: дециметрах и сантиметрах. Большая из них дециметр. Величина слева содержит 3 дм, величина справа всего 7 см, это меньше дециметра. Значит, величина слева больше величины справа, то есть 3дм 4 см>7см.
Проведем подробный анализ результатов выполнения типовых заданий раздела
«Величины, их измерение. Измерение геометрических величин».
Задание. Сравни. Поставь знак >, <,
=.
Цель. Выявить уровень сформированности у учащихся умения сравнивать длины, выраженные в различных единицах.
Решение с ошибкой: 3дм 4см=7см.
Ошибка: ученик неправильно поставил знак сравнения «=».
Причина ошибки: ученик не выразил 3дм 4см в сантиметрах, он просто сложил числа 3 и 4. Это свидетельствует о том, что ученик не знает алгоритма такого перевода.
Итак, ошибка в сравнении величин явилась следствием ошибки в преобразовании длины из различных единиц в одинаковые.
Задание. Выполните действие 2т 079кг+756кг.
Цель: выявление умения учащихся
ка.
Решение с ошибкой №2. а) Р =3+5*2=13 (см)
б) S =3+5=8 (см2).
Ошибки:
а) в ходе решения задачи на нахож-
складывать массы, выраженные в единицах разных наименований.
Решение с ошибкой: 1) 2т 079кг=279кг
2) 279+756=1035 (кг)
3)
а) 1035кг=1т 035кг или б) 1035кг=10т 35кг
Ошибка №1. Неправильно перевел 2т 079кг в килограммы.
Причина ошибки: причина явно не видна. Либо ученик не знает соотношения между тонной и килограммом, либо неверно выполнил сложение 2000+79.
Ошибка №2.
б) 1035кг=10т35кг. Неправильно перевел 1035кг в тонны и килограммы.
Причина ошибки: либо не знает соотношения между тонной и килограммом, либо не смог число 1035 представить в виде суммы 100+35.
Кроме этого, у ученика не сформирован навык самоконтроля, ученик не видит, что результат сложения двух величин меньше одного из слагаемых, чего быть не может.
Задание.
Найдите периметр и площадь прямоугольника со сторонами 3см 5 см.
Цель: выявление умения учащихся находить периметр и площадь прямоугольника с заданными сторонами.
Решение с ошибкой №1: Р =5+3=8 (см)
S =5*3=15 (см)
Ошибки:
а) в ходе решения задачи на нахождение периметра прямоугольника: найден не периметр, а полупериметр прямоугольника;
б) в записи единиц площади. Причины ошибок:
а) не знает формулы нахождения периметра через полупериметр
Р = (a+b)*2;
б) не знает единиц площади, путает их с единицами периметра прямоугольни-
дение периметра прямоугольника не удвоил одну из его сторон;
б) в ходе решения задачи на нахождение площади прямоугольника (не умножил, а сложил его стороны).
Причины ошибок:
а) не знает теоретического положения: «периметр прямоугольника это две длины и две ширины»;
б) не знает формулы нахождения площади прямоугольника.
Для формирования правильного представления о величинах важно уделить внимание следующим вопросам:
- методике знакомства с величиной;
- формированию измерительных навыков;
- формированию умений перевода величин, выраженных в единицах одних наименований, в другие [2, 3].
Величины рассматриваются в тесной связи с изучением натуральных чисел и дробей; обучение измерении связывается с изучением счёта; измерительные и графические действия над величинами являются наглядными средствами и используются при решении задач. При формировании представлений о каждой из названных величин целесообразно ориентироваться на определённые этапы, в которых нашли отражение: математическая трактовка понятия величина, взаимосвязь данного понятия с изучением других вопросов начального курса математики, а так же психологические особенности младших школьников.
В методике выделяют 8 этапов изучения величин:
1-й этап: выяснение и уточнение представлений школьников о данной величине (обращение к опыту ребёнка).
2-й этап: сравнение однородных величин (визуально, с помощью ощущений, наложением, приложением, путём использования различных мерок).
3-й этап: знакомство с единицей данной величины и с измерительным прибором.
4-й этап: формирование измерительных умений и навыков.
5-й этап: сложение и вычитание однородных величин, выраженных в единицах одного наименования.
6-й этап: знакомство с новыми единицами величин в тесной связи с изучением нумерации и сложения чисел. Перевод однородных величин, выраженных в единицах одного наименования, в величины, выраженные в единицах двух наименований, и наоборот.
7-й этап: сложение и вычитание величин, выраженных в единицах двух наименований.
8-й этап: умножение и деление величин на число.
Понятие величины в начальном курсе математики не определяется, то есть даётся без определения. Понятие величина раскрывается на конкретных примерах и основывается на опыте ребёнка. Величины в начальном курсе математики рассматривают как свойство предметов или явлений, проявляющееся в результате сравнения [4, 5].
ЛИТЕРАТУРА
- Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах.Ярославль, 1997. – 141 с.
- Анипченко З.А. Задачи, связанные с величинами и их применение в курсе математики в начальных классах. М.: 1997. – С. 2-5
- Стойлова Л.П., Пышкало А.М. Основы начального курса математики. М. Просвещение, 1988. – 442 с.
- Овчинникова М.В. Методика изучения темы «Величины» на уроках математики в начальных классах: Методические рекомендации для студентов факультета «Начальное обучение. Дошкольное воспитание». Ялта: ЦОП «Надежда», 2000. – 54 с.
- Бантова М.А., Бельтюкова Г.В.. Методика преподавания математики в начальных классах. – М., 1984. – 335 с.