Другие статьи

Цель нашей работы - изучение аминокислотного и минерального состава травы чертополоха поникшего
2010

Слово «этика» произошло от греческого «ethos», что в переводе означает обычай, нрав. Нравы и обычаи наших предков и составляли их нравственность, общепринятые нормы поведения.
2010

Артериальная гипертензия (АГ) является важнейшей медико-социальной проблемой. У 30% взрослого населения развитых стран мира определяется повышенный уровень артериального давления (АД) и у 12-15 % - наблюдается стойкая артериальная гипертензия
2010

Целью нашего исследования явилось определение эффективности применения препарата «Гинолакт» для лечения ВД у беременных.
2010

Целью нашего исследования явилось изучение эффективности и безопасности препарата лазолван 30мг у амбулаторных больных с ХОБЛ.
2010

Деформирующий остеоартроз (ДОА) в настоящее время является наиболее распространенным дегенеративно-дистрофическим заболеванием суставов, которым страдают не менее 20% населения земного шара.
2010

Целью работы явилась оценка анальгетической эффективности препарата Кетанов (кеторолак трометамин), у хирургических больных в послеоперационном периоде и возможности уменьшения использования наркотических анальгетиков.
2010

Для более объективного подтверждения мембранно-стабилизирующего влияния карбамезапина и ламиктала нами оценивались перекисная и механическая стойкости эритроцитов у больных эпилепсией
2010

Нами было проведено клинико-нейропсихологическое обследование 250 больных с ХИСФ (работающих в фосфорном производстве Каратау-Жамбылской биогеохимической провинции)
2010


C использованием разработанных алгоритмов и моделей был произведен анализ ситуации в системе здравоохранения биогеохимической провинции. Рассчитаны интегрированные показатели здоровья
2010

Специфические особенности Каратау-Жамбылской биогеохимической провинции связаны с производством фосфорных минеральных удобрений.
2010

Симметрия замкнутых бильярдных траекторий в прямоугольнике

Всякой замкнутой бильярдной траектории в прямоугольнике присуще наличие у неё симметрии.

Вызывает интерес не только этот факт, но и то, что вид соответствующей симметрии связан с чётностью и нечётностью чисел вершин траектории на сторонах прямоугольника. Например, траектория, изображенная на рис.1 (в наших обозначениях, это траектория (4,3)), обладает осевой симметрией, а траектория на рис.2 (траектория (3,5))

Наличие свойств симметрии у замкнутой бильярдной траектории в прямоугольнике, на наш взгляд, может быть объяснено, если траекторию рассматривать в рамках простой динамической системы (то есть, анализируя задачу о движении частицы внутри прямоугольника с упруго отражающимися стенками). При этом достаточно ограничиться кинематическими соображениями. Однако более интересным представляется чисто геометрическое объяснение указанного свойства траекторий в прямоугольнике.

179

180

181

Наконец, в случае, когда оба числа n1 и n2 нечётны, для изометрий Si и S выполняется с оотношение

i ÷( nɪ +n2)

σxσsiσxσy= Si+(nɪ ÷n2 )

Отсюда следует, что прямые li и l расположены центрально симметрично относительно центра симметрии прямоугольника (см. на рис. 2 траекторию(3,5)).

Квадрат, помимо наличия у него осей симметрии, параллельных его сторон, симметричен относительно его диагоналей. Нетрудно понять, что эта симметрия квадрата не вызывает дополнительной симметрии его замкнутых бильярдных траекторий. Однако, в квадрате для всякой замкнутой бильярдной траектории существуют симметричные ей относительно диагоналей траекто рии. Такие траекто рии, переводимые одна в другую посредством преобразования из группы симметрии квадрата, естественно назвать конгруэнтными.

Наличие симметрии у замкнутых бильярдных траекторий в прямоугольнике служит простой иллюстрацией принципа симметрии Кюри, по которому «когда какие- либо порождают некоторые эффекты, элементы симметрии причин должны обнаруживаться в этих эффектах» (цит. по книге [1], подробное обсуждение принципа Кюри см. в книге [2]). Интересно отметить, что на протяжении длительного времени поисков динамических систем, обладающих эргодическим свойством, уделялось внимание к бильярдам в плоских многоугольниках (см., например, [3], [4], [5], [6]). Со временем в поисках модельных представлений происхождения хаоса в статических системах появились такие видоизменения традиционного бильярда как так называемый бильярд Синая и бильярд в форме стадиона [7].

Ситуация изменилась, когда достигнута была ясность в понимании механизмов происхождения хаоса в динамических системах. Изучение непредсказуемого поведения динамических систем вылилось в отдельную ветвь исследований. Возникла обширная область исследований динамического хаоса (см., например, [7], [8], [9], [10], [11], [12]). Было установлено, что временное изменение структур в физике, химии, биологии и других научных дисциплин во многих случаях носит универсальный характер. Понятие динамической системы получило обобщение, под динамической системой стали понимать структуру, изменяющуюся со временем [8].

И хотя бильярды потеряли свою актуальность в анализе проблем динамического хаоса, они остаются интересным объектом элементарной геометрии.

Существование симметрии замкнутых бильярдных траекторий в прямоугольнике обусловлено закономерностями геометрии. Эстетическим аспектам симметрии уделено большое внимание в научной и научнопопулярной литературе (см., например, [13], [2], [1]). Применительно к математической теории эстетический аспект связывается не только свнешними свойствами исследуемого объекта, но и с особенностями логических построений, их объясняющих.

 

Литература

  1. Узоры симметрии. Под ред. М.Сенешаль и Дж.Флека. Пер. с англ. Ю.А. Данилова под ред.акад. Н.В.Белова и проф. Н.Н.Шефталя. – М.: Мир, 1980. – 340 с.
  2. А.В.Шубников, В.А.Копцик. Симметрия в науке и искусстве. –М.: Наука, 1972. – С. 567.
  3. Р.Курант и Г.Роббинс. Что такое математика? Элементарный очерк идей и методов. – М.: Просвещение, 1967. – 561 с.
  4. М.Берже. Геометрия. т. 1,2. Пер. с франц. Ю.Н.Сударева, А.В.Пожитнова, С.В.Чмутова. Под ред. И.Х.Сабитова. – М.: Мир, 1984. – С. 45 -50.
  5. Я.Г.Синай. Введение в эргодическую теорию. – М. Фазис, 1996. – 592 с.
  6. Г.А.Гальперин, А.Н.Земляков. Математические бильярды (бильярдные задачи и смежные вопросы математики и механики). – М.: Наук а, 1990. – 378 с.
  7. Г.Шустер. Детерминированный хаос. Введение. – М.: Мир, 1988. – 592 с.
  8. Р.М.Кроновер. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. – М.: Постмаркет, 2000. – 405 с.
  9. И.Пригожин, И.Стенгерс. Время, хаос, квант. К решению парадокса времени. Пер. с англ. Данилова Ю.А.. Под ред. Аршинова В.И. – М.: Эдиториал УРСС, 2000. – 280 с.
  10. Gregoire Nicolis. Physics of far-from-equilibrium systems and selforganisation. В зборнике The New Physics, edited by Paul Davies, - Cambridge University Press, 1994. – 670 р.
  11. Joseph Ford. What is Chaos, that we shold be mindful of it? Ibid.
  12. Х. – О.Пайтген, П.Х.Рихтер. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. Пер. с англ. Малышева П.В. и Сивака А.Г. под ред. Шарновского А.Н.. – М.: Мир, 1993. – 578 с.
  13. Г.Вейль. Симметрия. Пер. с англ Б.В.Бирюкова, Ю.А. Данилова. Под ред. Б.А.Розенфельда. – М.: Наука, 1968. – С. 42-70.

Разделы знаний

Архитектура

Научные статьи по Архитектуре

Биология

Научные статьи по биологии 

Военное дело

Научные статьи по военному делу

Востоковедение

Научные статьи по востоковедению

География

Научные статьи по географии

Журналистика

Научные статьи по журналистике

Инженерное дело

Научные статьи по инженерному делу

Информатика

Научные статьи по информатике

История

Научные статьи по истории, историографии, источниковедению, международным отношениям и пр.

Культурология

Научные статьи по культурологии

Литература

Литература. Литературоведение. Анализ произведений русской, казахской и зарубежной литературы. В данном разделе вы можете найти анализ рассказов Мухтара Ауэзова, описание творческой деятельности Уильяма Шекспира, анализ взглядов исследователей детского фольклора.  

Математика

Научные статьи о математике

Медицина

Научные статьи о медицине Казахстана

Международные отношения

Научные статьи посвященные международным отношениям

Педагогика

Научные статьи по педагогике, воспитанию, образованию

Политика

Научные статьи посвященные политике

Политология

Научные статьи по дисциплине Политология опубликованные в Казахстанских научных журналах

Психология

В разделе "Психология" вы найдете публикации, статьи и доклады по научной и практической психологии, опубликованные в научных журналах и сборниках статей Казахстана. В своих работах авторы делают обзоры теорий различных психологических направлений и школ, описывают результаты исследований, приводят примеры методик и техник диагностики, а также дают свои рекомендации в различных вопросах психологии человека. Этот раздел подойдет для тех, кто интересуется последними исследованиями в области научной психологии. Здесь вы найдете материалы по психологии личности, психологии разивития, социальной и возрастной психологии и другим отраслям психологии.  

Религиоведение

Научные статьи по дисциплине Религиоведение опубликованные в Казахстанских научных журналах

Сельское хозяйство

Научные статьи по дисциплине Сельское хозяйство опубликованные в Казахстанских научных журналах

Социология

Научные статьи по дисциплине Социология опубликованные в Казахстанских научных журналах

Технические науки

Научные статьи по техническим наукам опубликованные в Казахстанских научных журналах

Физика

Научные статьи по дисциплине Физика опубликованные в Казахстанских научных журналах

Физическая культура

Научные статьи по дисциплине Физическая культура опубликованные в Казахстанских научных журналах

Филология

Научные статьи по дисциплине Филология опубликованные в Казахстанских научных журналах

Философия

Научные статьи по дисциплине Философия опубликованные в Казахстанских научных журналах

Химия

Научные статьи по дисциплине Химия опубликованные в Казахстанских научных журналах

Экология

Данный раздел посвящен экологии человека. Здесь вы найдете статьи и доклады об экологических проблемах в Казахстане, охране природы и защите окружающей среды, опубликованные в научных журналах и сборниках статей Казахстана. Авторы рассматривают такие вопросы экологии, как последствия испытаний на Чернобыльском и Семипалатинском полигонах, "зеленая экономика", экологическая безопасность продуктов питания, питьевая вода и природные ресурсы Казахстана. Раздел будет полезен тем, кто интересуется современным состоянием экологии Казахстана, а также последними разработками ученых в данном направлении науки.  

Экономика

Научные статьи по экономике, менеджменту, маркетингу, бухгалтерскому учету, аудиту, оценке недвижимости и пр.

Этнология

Научные статьи по Этнологии опубликованные в Казахстане

Юриспруденция

Раздел посвящен государству и праву, юридической науке, современным проблемам международного права, обзору действующих законов Республики Казахстан Здесь опубликованы статьи из научных журналов и сборников по следующим темам: международное право, государственное право, уголовное право, гражданское право, а также основные тенденции развития национальной правовой системы.