Полноценное исследование экономических систем, их элементов и взаимосвязей в настоящее время невозможно без применения хотя бы одного, а чаще нескольких математических методов. Выбор конкретного математического метода обуславливается характеристикой набора стоящих перед экономистом задач, которые необходимо всесторонне проанализировать в ходе изучения проблемы, возможностью адекватного решения и интерпретации полученных в результате численных показателей.
Как правило, достаточно серьезная экономическая задача является, по сути, задачей синтеза, решение которой основывается на предварительном решении нескольких более простых задач анализа, охватывающих отдельные локальные области из общей плоскости рассматриваемой проблемы.
Так, например, к задачам предварительного анализа можно отнести статистическое сопоставление параметров, характеризующих изучаемые экономические системы. В частности, объектами статистического анализа могут служить социально-экономические показатели территориальных объединений любого уровня – от городских округов и муниципальных образований или даже отдельных районов города до макрорегионов – федеральных округов, субъектов федерации, отдельных государств и их коалиций. Показатели, оценивающие состояние изучаемых объектов, должны выбираться, исходя из целей исследования, при этом очень важно учитывать экономическую специфику таких показателей. В целом, такое статистическое сопоставление, помимо того, что определяет классификационную базу и обосновывает выбор направления анализа тенденций развития рассматриваемой экономической системы, служит еще и предпосылкой для дальнейших исследований, формируя массив предварительно рассчитанных элементов, который может быть впоследствии использован в решении более широкой задачи.
В частности, в исследованиях экономических систем такой более широкой задачей может служить имеющее большое значение возможно более точное и полное определение зависимости между различными элементами системы, при этом важны как качественные, так и количественные характеристики искомой зависимости. Нахождениеточной формы связи показателей может оказаться весьма трудоемким процессом, в ходе которого зачастую приходится анализировать большой набор возможных вариантов связи, в каждом из которых один, наиболее существенный, показатель принимается за результирующий – эндогенный, а факторы, предположительно влияющие на него – за исходные, экзогенные.
Разработанные для решения подобных задач анализа математические методы описываются дескриптивными моделями, которые, в свою очередь, можно подразделить на детерминированные и стохастические. Если имеет место однозначная зависимость эндогенного показателя от экзогенных, применяются детерминированные модели. Если же точную зависимость эндогенного и экзогенных факторов предсказать невозможно, используются дескриптивные стохастические (вероятностные) математические модели. В наиболее сложных случаях для описания структурной зависимости показателей строятся системы одновременных уравнений.
Основная задача прикладных математических исследований с помощью дескриптивных моделей состоит в получении качественной модели, пригодной для достоверных прогнозов, которая представляет собой одно уравнение либо систему взаимозависимых уравнений связи исследуемых показателей. Однако необходимо помнить, что получение строгой функциональной зависимости для экономических факторов практически не реально, в первую очередь по причине наличия случайной составляющей в каждом из статистических наблюдений исследуемой выборки. Появление случайной составляющей обуславливается целым рядом причин, начиная с возможных ошибок статистического измерения, которые, в частности, могут порождаться сглаживанием данных (к примеру, из-за их агрегирования) и заканчивая не вполне корректной (возможно, просто не оптимальной) функциональной или структурной спецификацией модели. Так или иначе, случайная составляющая является суммарным проявлением множества не учитываемых факторов, что не позволяет успешно моделировать ее проявление в искомой стохастической зависимости. Т.о., при использовании стохастических дескриптивных моделей необходимо помнить об ограничениях, налагаемых на связанные между собой обратным образом точность и достоверность прогнозов по этим моделям.
В отличие от применения математических моделей в естественных науках и технике, использование методов математического моделирования в сфере экономики усложняется из-за невозможности проведения многократных экспериментов, которые позволяют вывести точное уравнение связи исследуемых показателей. В связи с этим прогнозирование развития экономических процессов и явлений, основой для которого служит строгая математическая оценка меры взаимного влияния связанных экономических факторов, принимаемых за переменные математической модели, становится затруднительным. Посколькуэкономико-математические исследования, основанные на реальных статистических данных, прилагаются к реальной экономической ситуации, а результат предназначается для внедрения в современную экономическую действительность, то прогнозирование развития экономических процессов и явлений не может опираться только на теоретическую базу, хотя она, безусловно, является фундаментом любого серьезного экономического исследования.
В случае поиска зависимости между различными элементами экономической системы на основе теоретических выкладок и гипотез может быть сформулирована предположительная формула функциональной связи, которая с достаточной обоснованностью может включать в себя значимые факторы и определять вид и тип их связи. Однако более точная математическая оценка взаимосвязи исследуемых факторов, выступающих в качестве переменных математической модели, может быть определена только эмпирическим путем. В данном случае, при построении эконометрической модели, эта мера влияния определяется с помощью доверительных интервалов коэффициентов регрессии и зависимой переменной.
В общем случае в социально-экономических исследованиях исходными данными (наблюдениями) для определения коэффициентов зависимости служат фактические данные по интересующим исследователя экономическим показателям. При этом объем используемых статистических данных должен представлять собой репрезентативную выборку, чтобы обеспечить наиболее достоверную интерпретацию полученной информации. Отбор данных для получения частного вида модели основывается, прежде всего, на эмпирическом определении включаемых в модель показателей и выявлении весового вклада каждого из выбранных факторов в общую формулу связи. В случае использования систем уравнений, описывающих сложные структурные связи между экономическими факторами, может возникнуть необходимость определения весовых коэффициентов с помощью матричных операций.
Как правило, более или менее глобальное изучение экономической проблемы приводит, с точки зрения получения достоверных математических результатов, к описанию достаточно громоздких систем уравнений даже в случае решения задачи анализа, а не синтеза. Если же стоит задача экономического обобщения результатов решения целого ряда задач анализа, то корректная запись обобщающей системы уравнений и неравенств может быть весьма затруднительной уже, хотя бы в силу возможного взаимоисключающего воздействия систем одних экономических показателей на другие.
Подобные трудности являются достаточно типичными для экономических задач. Поэтому, как правило, из общей, достаточно глобальной задачи выделяется совокупность более локальных задач, каждая из которых решается как автономная. Круг этих задач может быть довольно широк, а спектр разнообразен, поэтому трудно подобратьединый типовой алгоритм для их решения, и используемый математический метод является в некотором роде таким алгоритмом, позволяющим проводить процедуру отбора и анализа взаимовлияющих экономических показателей для различных групп факторов и условий, который работает при соблюдении обязательного условия конкретного учета характерных деталей.
Одним из наиболее успешно позволяющих решить проблему поиска характерных зависимостей экономических факторов и потому одним из наиболее часто применяемых в экономических исследованиях математических методов является корреляционно-регрессионный анализ. Ориентация на использование эконометрических моделей в экономике связана со спецификой исходных данных, как правило, являющихся данными временных рядов одного или нескольких показателей социальноэкономического развития. В целом, использование корреляционного анализа дает достаточно хорошие результаты при исследованиях в различных экономических сферах. Так, например, регрессионные модели могут использоваться для определения взаимозависимостей различных факторов регионального развития.
В случае применения регрессионного метода в первую очередь необходимо установить, какие из экономических факторов вносят свой вклад в формирование условий изменения результирующего показателя. Далее нужно решить, какие из этих факторов следует выбрать в качестве параметров математической модели. При этом желательно учесть все факторы, влияющие на рассматриваемый процесс. Однако при последующем прогнозировании необходимо учитывать тот факт, что модель множественной регрессии, включающей в себя значительное число параметров, в отличие от парной, неизбежно будет отражать взаимное влияние экзогенных факторов друг на друга. Одновременно с этим затрудняется установление меры индивидуального влияния каждого из факторов на результирующий показатель. Фактически, это означает вероятное появление мультиколлинеарности, которая вызывается нарушением предпосылок МНК и приводит к получению ненадежных оценок регрессии. Поэтому если в качестве объясняющих переменных в модели присутствуют явно взаимосвязанные между собой показатели, их следует объединить или исключить некоторые из них, модифицировав тем самым уравнение связи. Такая процедура позволяет исключить мультиколлинеарность данных, что, в свою очередь, способствует тому, чтобы полученные регрессионные оценки оказались эффективными и достоверными.
Еще одной возможной проблемой, также обуславливаемой нарушением предпосылок МНК, может стать автокорреляция остатков, обычно характерная для временных рядов. В большинстве своем, выборки наблюдаемых показателей в экономических системах представляют собой временные ряды, поскольку полноценный экономико-математический анализ в экономических исследованиях, как правило, должен учитыватьдинамический характер используемых статистических данных. В этом случае при построении регрессионных моделей, помимо непосредственной проверки значимости связи и достоверности параметров модели, необходимо проверять выполнение условий Гаусса-Маркова для используемых исходных статистических данных и, в случае необходимости, принимать меры для нивелирования обнаруженных проблем.
Для проверки выполнения условий Гаусса-Маркова, помогающих определить степень достоверности полученных результатов, в частности посредством выявления таких проблем как мультиколлинеарность, автокорреляция и гетероскедастичность, обычно проводится анализ остатков в рассматриваемой модели. Для устранения нарушений предпосылок МНК используются известные в эконометрике методики, такие как тест ранговой корреляции Спирмена, тест Голдфелда-Квандта, тесты Парка и Глейзера (для обнаружения гетероскедастичности), а также графические методы, метод рядов, критерий Дарбина-Уотсона (для обнаружения автокорреляции). В случае выявления какого-либо из указанных нарушений предпосылок выполнения регрессионного анализа обязательно должны быть приняты меры к их устранению. Иначе оценки, полученные при решении, не будут эффективными, состоятельными и несмещенными. Фактически, это означает, что модель, полученная в результате решения, не будет адекватно описывать реальную экономическую ситуацию и не будет пригодной для прогнозирования изменения одних факторов в зависимости от изменения других.
Также на этапе формирования модели возможны трудности учета факторов, не поддающихся точному измерению. Например, проблемы могут возникнуть при отображении в математической форме влияния нечисловых факторов на формирование результирующего признака. Метод регрессионного анализа позволяет в подобной ситуации воспользоваться возможностью введения в математическую модель бинарных переменных, однако в этом случае необходимо проведение предварительной работы по формализации учитываемого в такой переменной признака.
Еще одним условием получения пригодных для достоверного прогнозирования результатов является правильная спецификация модели в плане определения функционального выражения зависимости. Так, если построить линейную модель, не отражающую фактической нелинейной связи исходных данных, прогнозы по ней, несмотря на возможное формально неплохое качество уравнения, вряд ли могут быть признаны качественными.
Важнейшим шагом после подбора и необходимой корректировки модели является экономико-математический анализ полученных результатов выведенной зависимости, т.е. теоретическое описание воздействия каждого входящего в модель параметра на зависимую переменную – тип, форму, вид этого воздействия. Фактически, в первом приближении это прогнозирование поведения изучаемого экономическогообъекта, основанное на анализе рассчитанных коэффициентов регрессии, отражающих вклад каждого из экзогенных показателей в изменение зависимой переменной. При этом в случае использования модели множественной регрессии, следует помнить о возможном взаимовлиянии объясняющих факторов друг на друга, что может несколько искажать реальную величину их индивидуального влияния на объясняемый фактор.
Задача эмпирического определения весового вклада каждого из выбранных показателей в общую формулу зависимости еще более усложняется, если исследуемый экономический процесс описывается не единой формулой, а системой уравнений, каждое из которых в общем случае может являться достаточно сложным.
Несмотря на доказанную эффективность методов корреляционнорегрессионного анализа, при их использовании, как, впрочем, и при использовании любых других статистических методов, надо помнить, что практически никакая функция не в состоянии описать абсолютно точную взаимосвязь изучаемых показателей и любые полученные оценки связи будут лишь более или менее хорошей ее аппроксимацией.
Многообразие аспектов изучения экономических систем обуславливает необходимость формулирования большого числа локально- конкретизированных задач, поэтому трудно подобрать единый типовой путь их решения, однако достаточно хорошо разработанный аппарат экономико-математического моделирования позволяет успешно подобрать алгоритм, подходящий для поставленной цели.
И на этапе теоретической интерпретации модели, и на этапе ее контроля и утверждения существует вероятность построения функциональной зависимости, не вполне адекватно отражающей реальную ситуацию. Для нивелирования возникающих модельных погрешностей разработаны специальные математические методы, а также способы оценки качества модели при помощи доверительных интервалов. Однако важнейшим средством уточнения модели является ее апробирование на большой выборке статистических данных.
Несмотря на трудности, возникающие на различных этапах постановки и решения задачи, несомненно, что применение методов экономико-математического моделирования позволяет существенно обогатить общий анализ экономических систем, сделать его более весомым, точным и обоснованным.