Рассматриваются системы двух дифференциальных уравнений при наличии внутреннего резонанса нечетного порядка. Получены необходимые и достаточные условия при l1 - 2l2 = 0 .
Известно, что одной из основных проблем теории устойчивости движения является проблема исследования устойчивости в так называемых критических случаях, когда вопрос об устойчивости движения не решается уравнениями первого приближения. В этом направлении опубликовано большое количество работ. Исследованию устойчивости в критическом случае нескольких пар чисто мнимых корней посвящены работы В.Г. Веретенникова, А.Л. Куницына, Я.М. Гольцера., Г.В. Каменкова, Л.Сальвадори.
Метод Г.В. Каменкова применяется в работах С.Г. Журавлева [1] и др.
называть резонансными членами, остальные нерезонансными.
В работе (1) изучался вопрос об устойчивости точек либрации в окрестности вращающегося гравитирующего эллипсойда. Было показано, что в рассматриваемом случае задача сводится к исследованию критического случая двух пар чисто мнимых корней.
Исследование проводится в предположении наличия в системе внутреннего резонанса 3-го порядка методом Г.В. Каменкова.
В настоящей статье мы хотим показать решение этой же задачи методом, разработанным в (3). Вернемся к задаче об устойчивости точек либрации.
Согласно [1], для решения задачи устойчивости нужно провести исследование системы дифференциальных уравнений:
Если среди них имеется знак определенный, то системы (1) устойчивы в m -1-м приближении; если все интегралы знакопеременны, то система (1) в m -1-м приближении неустойчива.
При нахождении этого интеграла использован результат о существовании положительного решения системы линейных алгебраических уравнений Н.Г. Четаева [6]. Заметим, что вышеприведенный критерий позволяет решить аналогичным образом задачу об устойчивости точек либрации и при других соотношениях между l1 и
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
- Журавлев С.Г. О неустойчивости точек либрации в окрестности вращающегося гравитирующего эллипсоида. Сборник научных работ аспирантов.( Математика, механика, физика). - выпуск 1968.
- Нурпеисов С.А. Диссертация,
- Sallvadori Sulla ricerca di una funzione di Liapunoff per un Sistema differenriale interessante la meccnica dei sisteme olonomi. Ricerche mat, 1962.
- Хазин Л. Г. – Об устойчивости гамильтоновых систем при наличии резонансов. ПММ, том 35, выпуск 3.
- Гольцер Я.М., Нурпеисов С.А.- К исследованию одного критического случая при наличии внутреннего резонанса. Известие АНКаз ССР, серия физ.-мат. №1.
- Четаев Н.Г.- Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. Изд-во Акад. Наук СССР,