Методы выбора оптимальных параметров проектируемых угольных шахт, разработанные за последние годы и применяющиеся в проектной практике, являются, как правило, детерминированными. Однако детерминированность оптимизационных методов противоречит вероятностному характеру производственных процессов и информации об условиях работы проектируемого предприятия.
Поэтому переход к вероятностному моделированию производственных процессов и затрат на их выполнение является важной и актуальной задачей, решение которой позволит повысить надежность проектных решений, принимаемых на основе оптимизационных расчетов. При детерминированной постановке задач оптимального проектирования шахт критерием выбора наилучшего решения является обычно минимум затрат или максимум экономического эффекта. В случае неопределенности информации об условиях работы проектируемого предприятия выбор наилучших решений можно производить на основе использования одного из принципов мини-максимальной стратегии теории игр Сэвиджа или Вальда.
Применение принципов и математического аппарата теории игр для решения указанных задач представляется интересным и перспективным. В этой связи ознакомимся с основными понятиями теории игр1–3.
Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте, — игроками, а исход конфликта — выигрышем. Для каждой формализованной игры вводятся правила, т.е. система условий, определяющая: 1) варианты действий игроков; 2) объем информации каждого игрока о поведении партнеров; 3) выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий. Как правило, выигрыш (или проигрыш) может быть задан количественно; например, можно оценить проигрыш нулем, выигрыш — единицей, а ничью — 1/2.
Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков больше двух. Мы будем рассматривать только парные игры. В них участвуют два игрока — А и В, интересы которых противоположны, а под игрой будем понимать ряд действий со стороны А и В.
Игра называется игрой с нулевой суммой или антагонистической, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, т.е. для полного задания игры достаточно указать величину одного из них. Если обозначить: а — выигрыш одного из игроков, b — выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b = –а, достаточно рассматривать, например, а.
Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход — это сознательный выбор игроком одного из возможных действий. Случайный ход — это случайно выбранное действие. Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Обычно в процессе игры при каждом личном ходе игрок делает выбор в зависимости от конкретной ситуации. Однако в принципе возможно, что все решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуацию). Это означает, что игрок выбрал определенную стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы (так можно осуществить игру с помощью ЭВМ). Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной — в противном случае.
Для того чтобы решить игру или найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т.е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.
Если игра повторяется достаточно много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной партии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях. Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии естественно предполагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов.
Опираясь на эти теоретические положения, рассмотрим задачу выбора математической формы критерия оптимальности характеристик проектируемой шахты в условиях неопределенности исходной информации. Тем более математическая форма критерия оптимальности нуждается в детальном анализе и обосновании. В данном случае под игрой подразумевается совокупность соотношений между решениями проектировщика и их предполагаемыми результатами, которые можно рассматривать как реакцию работы шахты на эти решения. Игроком А можно считать проектировщика, занятого выбором оптимальных проектных решений, а игроком В (противником) — горно-геологические, технические и социально-экономические условия функционирования проектируемого предприятия, отображенные в исходной информации. Под стратегией подразумевается критерий выбора оптимальных решений.
При выборе решений по критерию Сэвиджа оптимальной считается стратегия игрока А, обеспечивающая минимальный из максимальных ущербов, являющихся результатом реализации той или иной совокупности решений:
Это означает, что минимизируется ущерб, причиной которого является максимальное отклонение от предполагаемых в проекте условий работы шахты, т.е. ущерб в самой неблагоприятной ситуации. При подобной стратегии риск минимален, но и выигрыш заведомо меньше максимально возможного.
Самая неблагоприятная ситуация наиболее вероятна в том случае, если игрок В (условия работы) является активным и сознательным противником или если игроку А ничего не известно о качествах игрока В, т.е. в данном случае — о достоверности исходной информации. Между тем условия работы шахты являются пассивным игроком в том смысле, что не ищут наилучших продолжений игры, а проектировщик может получить информацию о достоверности исходных данных только на основе анализа прошлого опыта (разумеется, эта оценка также имеет вероятностный характер).
Осторожная стратегия может быть все же оправдана тем, что проект шахты является не типовым, а уникальным, так как реализуется один раз. Однако следует иметь в виду, что, во-первых, по отрасли в целом разрабатывается и реализуется достаточно много подобных проектов, а, во-вторых, область условий, для которых одно и то же решение является оптимальным, достаточно велика.
При выборе решений по критерию Вальда оптимальной считается стратегия игрока А, обеспечивающая максимальный из минимальных выигрышей:
где а — выигрыш.
Эта стратегия гарантирует при любых ситуациях получение положительного эффекта, т.е. максимального выигрыша в самой неблагоприятной ситуации. Нетрудно заметить, что эта стратегия, по существу, аналогична рассмотренной выше, ее применение для выбора оптимальных параметров проектируемой шахты по тем же соображениям вряд ли оправданно. В значительно бльшей степени отвечает условиям задачи оптимального проектирования критерий Гурвица, имеющий вид:
где χ — коэффициент, характеризующий меру пессимизма исследователя 0 ≤ χ ≤ 1.
При выборе решений по этому критерию максимизируется сумма минимального min аij максимального max аij выигрышей с учетом их вероятностей. Эти вероятности определяются как объективными (достоверность исходной информации), так и субъективными («мера пессимизма» исследователя) факторами.
Чем достовернее исходная информация, т.е. чем меньше величина доверительного интервала, тем меньше при прочих равных условиях значение χ. При полностью определенной исходной информации (χ = 0) критерий Гурвица приобретает вид, соответствующий детерминированной постановке задачи. При полной неопределенности исходных данных (χ = 1) критерий Гурвица преобразуется в критерий Вальда (Сэвиджа).
Следует иметь в виду, что при использовании для выбора оптимальных параметров шахт критерия Гурвица не исключена возможность принятия неоптимальных решений. Однако по сравнению с принципами Сэвиджа и Вальда возрастает вероятность достижения большого эффекта при реализации даже одного проекта шахты, а при реализации проектов нескольких десятков шахт бльший экономический эффект будет получен с весьма высокой вероятностью.
При проектировании шахт для разработки месторождений с сильно изменчивыми горно-геологическими условиями представляется перспективным использование в качестве крайней меры дополнительного критерия оптимальности — минимума затрат на адаптацию (приспособление) действующего предприятия к изменяющимся условиям разработки. Такими затратами в настоящее время фактически являются затраты на реконструкцию шахты, но они могут иметь место и в межреконструкционные периоды.
На основании изложенного можно сделать следующие выводы о целесообразной математической форме критерия оптимальности при выборе параметров проектируемой шахты:
- при полностью определенной информации следует применять детерминированные критерии оптимальности;
- при наличии только средних значений факторов, характеризующих условия работы проектируемой шахты, следует использовать критерий Сэвиджа или Вальда;
- при наличии, кроме средних значений факторов, характеризующих условия работы проектируемой шахты, еще и их каких-либо вероятностных характеристик (интервал, дисперсия, коэффициент вариации, наиболее вероятное значение, закон распределения) следует использовать критерий Гурвица.
Если горно-геологические условия разработки месторождения характеризуются большой изменчивостью, то при выборе оптимальных параметров шахты в качестве дополнительного критерия оптимальности рекомендуется использовать минимум затрат на адаптацию действующей шахты к изменяющимся условиям разработки.
Список литературы
1. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридмен М.Н. Исследование операций в экономике: Учеб. пособие. — М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997. — С. 407.
2. Дж.фон Нейман, О.Моргенштерн. Теория игр и экономическое поведение / Пер. с англ. — М.: Наука, 1970. — С. 707.
3. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. — М.: МГУ им. М.В.Ломоносова, Изд-во «ДИС», 1997. — С. 368.