Другие статьи

Цель нашей работы - изучение аминокислотного и минерального состава травы чертополоха поникшего
2010

Слово «этика» произошло от греческого «ethos», что в переводе означает обычай, нрав. Нравы и обычаи наших предков и составляли их нравственность, общепринятые нормы поведения.
2010

Артериальная гипертензия (АГ) является важнейшей медико-социальной проблемой. У 30% взрослого населения развитых стран мира определяется повышенный уровень артериального давления (АД) и у 12-15 % - наблюдается стойкая артериальная гипертензия
2010

Целью нашего исследования явилось определение эффективности применения препарата «Гинолакт» для лечения ВД у беременных.
2010

Целью нашего исследования явилось изучение эффективности и безопасности препарата лазолван 30мг у амбулаторных больных с ХОБЛ.
2010

Деформирующий остеоартроз (ДОА) в настоящее время является наиболее распространенным дегенеративно-дистрофическим заболеванием суставов, которым страдают не менее 20% населения земного шара.
2010

Целью работы явилась оценка анальгетической эффективности препарата Кетанов (кеторолак трометамин), у хирургических больных в послеоперационном периоде и возможности уменьшения использования наркотических анальгетиков.
2010

Для более объективного подтверждения мембранно-стабилизирующего влияния карбамезапина и ламиктала нами оценивались перекисная и механическая стойкости эритроцитов у больных эпилепсией
2010

Нами было проведено клинико-нейропсихологическое обследование 250 больных с ХИСФ (работающих в фосфорном производстве Каратау-Жамбылской биогеохимической провинции)
2010


C использованием разработанных алгоритмов и моделей был произведен анализ ситуации в системе здравоохранения биогеохимической провинции. Рассчитаны интегрированные показатели здоровья
2010

Специфические особенности Каратау-Жамбылской биогеохимической провинции связаны с производством фосфорных минеральных удобрений.
2010

Теорема о бильярдных траекториях в углах, π для которых - целое число а

Решение задачи о бильярдной траектории внутри угла позволяет лучше понять особенности бильярдных траекторий в выпуклых замкнутых многоугольниках, но полное и подробное решение задачи в литературе отсутствует. Нами были рассмотрены метод отражений, применяемый в изучении бильярдных траекторий в угле [1] и аналитический метод [2], которые дают один и тот же результат.

Заслуживает отдельного рассмотрения случай бильярдных траекторий в углах величины а, для которых π - целое число. На рис. 1 и а

2 показаны графики зависимости величины угла выхода траектории ψ от

величины угла её входа φ для случаев, когда целое число = m является а

соответственно нечетным или чётным числом.

При всех значениях φ из интервала 0 ‹ φ ‹ а как при нечётных, так и при чётных значениях числа m число столкновений n шара со сторонами угла (число вершин траектории) равно m. В случае φ = 0 и φ = а число равно m-1.

7

Бильярдные траектории в углах с нечётным значением целого числа π

— существенно отличаются от траекторий в углах с четным его значением. а

Сначала рассмотрим случай чётного числа m . Бильярдная траектория шара внутри угла представляет ломаную, два любых смежных звена которой лежат на прямых, симметричных друг другу относительно стороны угла, содержащей их общую вершину. Каждой вершине траектории можно поставить в соответствие преобразование симметрии, благодаря которому прямые, содержащие два соседних звена траектории, переходят друг в друга. Число таких симметрий равно числу столкновений шара со сторонами угла АСВ . При n последовательных симметриях прямая, на которой лежит начальное звено траектории, или её входящая ветвь, переводится в прямую, на которой лежит конечное звено траектории, или её выходящая ветвь.

Обозначим преобразование симметрии относительно прямой AC через ơ , относительно прямой ВС - через σ2. Из курса элементарной геометрии известно (см., например, [3], [4]), что произведение двух симметрий относительно прямых AC и ВС , величина угла между которыми равна а , эквивалентно повороту вокруг точки C на угол 2а . Это утверждение можно выразить символически

σ2σi = С(2а) , (1)

где через с(2а) обозначен поворот на угол  с центром в точке C. В

записи σ2σ1 подразумевается, что сначала проводится симметрия σ1 , а затем - σ . Последовательность множителей σ и σ в записи (1) имеет существенное значение: направление поворота с(2а) совпадает с

направлением поворота, при котором прямая AC переводится в прямую ВС . Чётное число n последовательно проведенных симметрий σ и σ

n

эквивалентно — поворотам на угол 2а, или, в итоге, повороту на угол па вокруг точки C . При n = m угол такого поворота равен π. Таким образом,

очевидно, что для угла АСВ величины — , где m = 2k (к = 1,2,...) , m

выходящая ветвь траектории лежит на прямой, полученной из прямой, на которой лежит входящая ветвь траектории, её поворотом около вершины C угла АСВ на угол π. Полученный результат сформулируем как первую часть теоремы о взаимном расположении входящей и выходящей ветвей

бильярдной траектории для углов с целым значением : для углов с целым а

четным значением  входящая и выходящая ветви траектории лежат на а

параллельных прямых, расположенных по разные стороны от точки C и одинаково от неё удалённых.

Утверждение теоремы не имеет места для угла φ = 0 (φ' = а) и угла φ = а (φ' = 0). Особенность траектории при φ = 0 состоит в том, что шар по

ней приближается к вершине наиболее близкой к точке C , а затем удаляется по этой же траектории в бесконечность. Такую траекторию мы будем называть тупиковой.

На рис. 3 и 4 показаны такие траектории в углах a = ^ (т = 8) и a =

(т = 6). На этих рис. тупиками траекторий являются соответственно их вершины P и P . Другие вершины траектории проходятся шаром дважды, поэтому против них поставлены двойные обозначения. Число вершин траектории в данном случае принимается равно т -1.

9

10

Литература

  1. В.Кравцов, Г.Калакова, Б.Калаков. Решение задачи о бильярдной траектории внутри угла методом отражений. // Материалы международной научной конференции «Математика, ее применение и преподавание», Костанай, КГПИ, часть 1, стр.34-39, ноябрь 2012.
  2. Г.Калакова, Б.Калаков. Решение задачи о бильярдной траектории внутри угла аналитическим методом. // Вестник науки Костанайского социально-технического университета им. академика З. Алдамжар. Серия естественно-технических наук. Том № 3. стр. 130-135, 2011.
  3. Фетисов А. И. Геометрия в задачах. – М.: Просвещение, 1977.
  4. Шарыгин И. Ф. Геометрия 7-9 кл. - М.: Дрофа, 1999.
  5. Гальперин Г. А., Земляков А. Н. Математические бильярды. – М.: Наука, 1990
  6. Леман А. А. Сборник задач московских математических олимпиад. – М.: Просвещение, 1965.

Разделы знаний

Архитектура

Научные статьи по Архитектуре

Биология

Научные статьи по биологии 

Военное дело

Научные статьи по военному делу

Востоковедение

Научные статьи по востоковедению

География

Научные статьи по географии

Журналистика

Научные статьи по журналистике

Инженерное дело

Научные статьи по инженерному делу

Информатика

Научные статьи по информатике

История

Научные статьи по истории, историографии, источниковедению, международным отношениям и пр.

Культурология

Научные статьи по культурологии

Литература

Литература. Литературоведение. Анализ произведений русской, казахской и зарубежной литературы. В данном разделе вы можете найти анализ рассказов Мухтара Ауэзова, описание творческой деятельности Уильяма Шекспира, анализ взглядов исследователей детского фольклора.  

Математика

Научные статьи о математике

Медицина

Научные статьи о медицине Казахстана

Международные отношения

Научные статьи посвященные международным отношениям

Педагогика

Научные статьи по педагогике, воспитанию, образованию

Политика

Научные статьи посвященные политике

Политология

Научные статьи по дисциплине Политология опубликованные в Казахстанских научных журналах

Психология

В разделе "Психология" вы найдете публикации, статьи и доклады по научной и практической психологии, опубликованные в научных журналах и сборниках статей Казахстана. В своих работах авторы делают обзоры теорий различных психологических направлений и школ, описывают результаты исследований, приводят примеры методик и техник диагностики, а также дают свои рекомендации в различных вопросах психологии человека. Этот раздел подойдет для тех, кто интересуется последними исследованиями в области научной психологии. Здесь вы найдете материалы по психологии личности, психологии разивития, социальной и возрастной психологии и другим отраслям психологии.  

Религиоведение

Научные статьи по дисциплине Религиоведение опубликованные в Казахстанских научных журналах

Сельское хозяйство

Научные статьи по дисциплине Сельское хозяйство опубликованные в Казахстанских научных журналах

Социология

Научные статьи по дисциплине Социология опубликованные в Казахстанских научных журналах

Технические науки

Научные статьи по техническим наукам опубликованные в Казахстанских научных журналах

Физика

Научные статьи по дисциплине Физика опубликованные в Казахстанских научных журналах

Физическая культура

Научные статьи по дисциплине Физическая культура опубликованные в Казахстанских научных журналах

Филология

Научные статьи по дисциплине Филология опубликованные в Казахстанских научных журналах

Философия

Научные статьи по дисциплине Философия опубликованные в Казахстанских научных журналах

Химия

Научные статьи по дисциплине Химия опубликованные в Казахстанских научных журналах

Экология

Данный раздел посвящен экологии человека. Здесь вы найдете статьи и доклады об экологических проблемах в Казахстане, охране природы и защите окружающей среды, опубликованные в научных журналах и сборниках статей Казахстана. Авторы рассматривают такие вопросы экологии, как последствия испытаний на Чернобыльском и Семипалатинском полигонах, "зеленая экономика", экологическая безопасность продуктов питания, питьевая вода и природные ресурсы Казахстана. Раздел будет полезен тем, кто интересуется современным состоянием экологии Казахстана, а также последними разработками ученых в данном направлении науки.  

Экономика

Научные статьи по экономике, менеджменту, маркетингу, бухгалтерскому учету, аудиту, оценке недвижимости и пр.

Этнология

Научные статьи по Этнологии опубликованные в Казахстане

Юриспруденция

Раздел посвящен государству и праву, юридической науке, современным проблемам международного права, обзору действующих законов Республики Казахстан Здесь опубликованы статьи из научных журналов и сборников по следующим темам: международное право, государственное право, уголовное право, гражданское право, а также основные тенденции развития национальной правовой системы.